線形空間を対象とした圏と圏Setの間の忘却関手と自由関手の作り方がよくわからないです。。
ベーシック圏論にて随伴の例がたくさん出てくるのですが、その大半がいろんな数学の対象の忘却関手と自由関手のものでした。
自分は位相も線形代数も群論も独学でさわりしか知らないため、このあたりは雰囲気だけわかればよいかなと思っていたのですが、後半章を読むにつれ随伴の話題がかなり出てくるので、ひとつくらいはちゃんと具体的な構成と随伴であることを認識したいと思いまして。。
差しあたっては群の自由関手は構成が技巧的と本に書いてあったので、線形空間と圏Setの例を理解しようと試みているところになります。
以下のように考えているところです。
体k上の線形空間を対象とする圏Vectkと集合の圏Setに対して
忘却関手U: Vectk→Set
対象関数：線形空間の基底のみからなる集合？
イメージ）いわゆる平面のベクトルの空間V2の基底が(0, 1), (1, 0)であるときに、U(V2) = {(0, 1), (1, 0)}
ある線形空間W1の基底がa, b, cの時に、U(W1) = {a, b, c}
ある線形空間W2の基底がx, y, zの時に、U(W2) = {x, y, z}
射関数：？
例えば上にあげた例の対象についてf: W1→W2で
f(a) = x + yの場合に、U(f)(a)が何になるかがわからないです。。
集合では+は定義されていないのでx + yではないはずですし、かといってxかyのどちらになるのもおかしい気がしています。
自由関手F: Set→Vectk
以下の記事を参考にしました。
https://qiita.com/tamanujan/items/e1ec860f973393df7d11対象関数：λ(s): S→F(S), S∈Ob(Set)でλ(s) ≠ 0
イメージ）元が{x, y}の2つだけの集合S2の場合
λ1(x) = 0, λ1(y) = 1
λ2(x) = 1, λ2(y) = -1
λ3(x) = 0.3, λ3(y) = 1.42
...
射関数：集合の写像そのまま？
そもそも線形代数ちゃんとわかっていないという問題も大いにありそうで大変恐縮ですが、ご教示いただけますと幸いです。。！